3. Zadatak

Uvjet zadatka može se zapisati u obliku $\binom n2=\binom n1+44$.

Odavde sređivanjem dobivamo

$$\frac{n(n-1)}2=n+44$$ $$n^2-3n-88=0\implies n_1=11,\ n_2=-8.$$

Jedina mogućnost je $n=11$. Neka je $A_k$ koeficijent uz onaj član koji je jednak nuli. Tada je

$$\begin{aligned}A_k&=\binom{11}k(x\sqrt x)^{11-k}\left(\frac1{x^4}\right)^k=\binom{11}k\left(x^{\frac32}\right)^{11-k}\cdot x^{-4k}\\&=\binom{11}k\cdot x^{\frac32(11-k)-4k}.\end{aligned}$$

Kako $A_k$ ne sadrži $x$ imamo

$$\frac32(11-k)-4k=0\implies k=3.$$

Član koji ne sadrži $x$ je $A_3=\binom{11}3=165$.