5. Zadatak

Označimo vrhove osnovice trapeza s $M$ i $N$. Trokuti $AKL$ i $CNM$ su slični ($\angle AKL=\angle CNM$).

Označimo li duljine stranica $\overline{CN}$ i $\overline{CM}$ s $2x$ i $3x$, površinu $P$ trapeza možemo prikazati kao razliku površine kvadrata $ABCD$ i četiri trokuta $AKL$, $BMK$, $CNM$, $DLN$.

$$\begin{aligned}P&=36-\frac{3\cdot2}2-\frac{4\cdot(6-3x)}2-\frac{3x\cdot2x}2-\frac{3\cdot(6-2x)}2\\&=-3x^2+9x+12.\end{aligned}$$

Kvadratna funkcija $f(x)=-3x^2+9x+12$ poprima maksimum za $x=\dfrac{-9}{2\cdot(-3)}=\dfrac32$.

Dakle, $P_{\max}=-3\cdot\dfrac94+9\cdot\dfrac32+12=\dfrac{75}4$.

(Ili iz $f(x)=-3\left(x-\dfrac32\right)^2+\dfrac{75}4$ slijedi $P_{\max}=\dfrac{75}4$.)