7. Zadatak

Neka je $z=x+yi$, gdje su $x,y\in\mathbb R$. Tada je

$$z^2=(x^2-y^2)+2xyi.$$

Nejednakost $\operatorname{Im}(z^2)\le\operatorname{Re}(z)$ ekvivalentna je nejednakosti

$$2xy\le x$$ $$\Longleftrightarrow x(2y-1)\le0$$ $$\Longleftrightarrow \begin{cases} x\le0,\ y\ge\frac12,\\ x\ge0,\ y\le\frac12. \end{cases}$$

Osjenčani skup prikazuje dobiveni sustav nejednakosti.

Nejednakost $|z|\le1$ ispunjena je za sve kompleksne brojeve koji se nalaze u krugu polumjera 1, sa središtem u ishodištu.

Dio osjenčanog skupa koji je unutar jediničnog kruga je traženi dio ravnine. Zbog simetrije jediničnog kruga u odnosu na os ordinata, površina tog skupa točaka jednaka je površini polovine kruga, odnosno

$$P=\frac{r^2\pi}{2}=\frac{\pi}{2}.$$