3. Zadatak

Dani je niz funkcija geometrijski niz, kojemu je prvi član $a_1=f_1(x)=x^2+x$, a kvocijent $q=x$. Tada je beskonačan zbroj $f_1(x)+f_2(x)+f_3(x)+f_4(x)+\cdots$ geometrijski red. Ovaj će geometrijski red konvergirati ako je $|q|<1$, odnosno ako je $|x|<1$, $x\ne0$. Tada je njegov zbroj

$$f_1(x)+f_2(x)+f_3(x)+f_4(x)+\cdots=\frac{a_1}{1-q}=\frac{x^2+x}{1-x}.$$

Ako je $x=0$, traženi zbroj je 0 što ne ulazi u dani interval. Treba odrediti sve $x\in\mathbb{R}$, $x\ne0$ za koje vrijedi sustav nejednadžbi

$$0<\frac{x^2+x}{1-x}\le\frac23.$$

Rješenja nejednadžbi su

$$\frac{x^2+x}{1-x}\le\frac23,\quad \text{za }x\in[-2,\tfrac13]\cup\langle1,+\infty\rangle,$$ $$0<\frac{x^2+x}{1-x},\quad \text{za }x\in\langle-\infty,-1\rangle\cup\langle0,1\rangle.$$

Presjek ovih rješenja uz uvjet konvergencije da je $|x|<1$ daje konačno rješenje

$$x\in\langle0,\tfrac13].$$