1. Zadatak

Označimo stranice trokuta s

$$a_1=a-2d,\qquad a_2=a-d,\qquad a_3=a,\qquad a_4=a+d,\qquad a_5=a+2d,$$

gdje je $d$ razlika niza.

Kako je zbroj opsega tih trokuta $120\ \text{cm}$, to vrijedi

$$3(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)=120,$$ $$a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=40.$$

Slijedi $a=8$, pa je dani niz $8-2d,8-d,8,8+d,8+2d$. Za površine vrijedi

$$\frac{a_1^2\sqrt3}{4}+\frac{a_5^2\sqrt3}{4}+10\sqrt3 =\frac{a_2^2\sqrt3}{4}+\frac{a_3^2\sqrt3}{4}+\frac{a_4^2\sqrt3}{4}\quad /:\frac{\sqrt3}{4}.$$

Tada je

$$a_1^2+a_5^2+40=a_2^2+a_3^2+a_4^2,$$ $$(8-2d)^2+(8+2d)^2+40=(8-d)^2+8^2+(8+d)^2.$$

Slijedi $d^2=4$, $d=2$ ili $d=-2$.

Stavimo li $d=2$ dobivamo: $a_1=4\ \text{cm}$, $a_2=6\ \text{cm}$, $a_3=8\ \text{cm}$, $a_4=10\ \text{cm}$, $a_5=12\ \text{cm}$. (Stavimo li $d=-2$ dobivamo iste brojeve samo u silaznom poretku.)

Zbroj površina svih trokuta iznosi

$$P=\frac{\sqrt3}{4}(16+36+64+100+144)=90\sqrt3\ \text{cm}^2.$$