3. Zadatak

Prikažimo promatrani broj u obliku $$\begin{aligned} \overline{2a0b82}&=200\,082+10\,000a+100b\\ &=(15\,390\cdot13+12)+(769\cdot13+3)a+(7\cdot13+9)b\\ &=13k+12+3a+9b,\quad k\in\mathbb N. \end{aligned}$$ Promatrani broj bit će djeljiv s 13 ako i samo ako je $12+3a+9b$ djeljivo s 13.

Kako su $a$ i $b$ znamenke, trebamo ispitati deset slučajeva, $b\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$.

Dobivamo:

$b$	$a$	broj
0	9	290 082
1	6	260 182
2	3	230 282
3	–	–
4	–	–
5	7	270 582
6	4	240 682
7	1	210 782
8	–	–
9	8	280 982

Imamo sedam brojeva koji zadovoljavaju dani uvjet. To su: 290 082, 260 182, 230 282, 270 582, 240 682, 210 782, 280 982,

Napomena. Prema poznatom pravilu za djeljivost broja s 13, broj $\overline{2a0b82}$ je djeljiv s 13 ako i samo ako je broj $\overline{b82}-\overline{2a0}$ djeljiv s 13. Odatle dobivamo $(100b+82)-(200+10a)=100b-10a-118=13(7b-a-9)+9b+3a-1=13(8b-a-9)+3a-4b-1$, pa kao i u prvom rješenju tražimo $a$, $b$ za koje je $3a+9b-1$ djeljivo s 13, ili jednostavnije $3a-4b-1$ djeljivo s 13.