3. Zadatak

Dokažimo najprije da najveći koeficijent u binomnom razvoju izraza $(a+b)^{2n}$ iznosi $\binom{2n}n$. Omjer dva uzastopna koeficijenta iznosi $$\binom{2n}{k-1}/\binom{2n}k=\frac{(2n)\cdots(2n-k+2)}{(k-1)!}\cdot\frac{k!}{(2n)\cdots(2n-k+1)}=\frac k{2n-k+1}.$$ Taj je omjer manji od 1 onda i samo onda kad je $$k<2n-k+1\Longleftrightarrow k<n+\frac12.$$ Prema tome, najveći koeficijent će se dobiti za $k=n$.

Sada treba pokazati da je $\binom{2n}n$ paran broj.

Binomni koeficijent jednak je zbroju koeficijenata koji mu prethode u Pascalovom trokutu: $$\begin{aligned} \binom{2n}n&=\binom{2n-1}{n-1}+\binom{2n-1}n\\ &=\binom{2n-1}{2n-1-(n-1)}+\binom{2n-1}n\\ &=\binom{2n-1}n+\binom{2n-1}n\\ &=2\cdot\binom{2n-1}n \end{aligned}$$ pa je doista $\binom{2n}n$ paran broj.