2. Zadatak

Odredimo sjecišta pravaca $y=-x$ i $y=x$ s pravcem $y=kx+a$ koji prolazi točkom $(0,a)$: $$\begin{array}{ll} \mathrm{I.}\quad -x=kx+a&\mathrm{II.}\quad x=kx+a\\ (-k-1)x=a&(1-k)x=a\\ x_A=\frac{-a}{k+1}&x_B=\frac a{1-k}\\ y_A=\frac a{k+1}&y_B=\frac a{1-k} \end{array}$$ Koordinate polovišta su: $$\begin{aligned} x&=\frac{-a+ak+ak+a}{2(1-k^2)}=\frac{ak}{1-k^2},\\ y&=\frac{a-ak+ak+a}{2(1-k^2)}=\frac a{1-k^2}. \end{aligned}$$ Iz ovih jednadžbi trebamo eliminirati $k$. Dijeljenjem dobivamo $k=\frac xy$ pa imamo $$y=\frac a{1-\left(\frac xy\right)^2}.$$ Nakon sređivanja dobivamo $y^2-x^2=ay$, odnosno $$\left(y-\frac a2\right)^2-x^2=\frac{a^2}4.$$ Točke $P$ opisuju ovu hiperbolu. Koordinate središta hiperbole su $(0,\frac a2)$.