4. Zadatak

Neka je $a=n-1$, $b=n$, $c=n+1$. Tada je $\alpha<\beta<\gamma$. Moguća su tri slučaja.

$1^\circ$ $\beta=2\alpha$

Koristeći poučak o sinusima i kosinusov poučak dobivamo: $$\cos\alpha=\frac{\sin2\alpha}{2\sin\alpha}=\frac{\sin\beta}{2\sin\alpha}=\frac b{2a}=\frac n{2(n-1)},$$ $$\cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{n+4}{2(n+1)}.$$ Iz jednadžbe $\frac n{2(n-1)}=\frac{n+4}{2(n+1)}$ dobivamo $n=2$. Stranice trokuta bi bile $1$, $2$ i $3$, što nije moguće.

$2^\circ$ $\gamma=2\alpha$

Slično kao u prethodnom slučaju dobili bismo: $$\cos\alpha=\frac{\sin2\alpha}{2\sin\alpha}=\frac{\sin\gamma}{2\sin\alpha}=\frac{n+1}{2(n-1)},$$ $$\cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{n+4}{2(n+1)}.$$ Iz jednadžbe $\frac{n+1}{2(n-1)}=\frac{n+4}{2(n+1)}$ se dobiva $n=5$ i duljine stranica trokuta su $4$, $5$ i $6$.

$3^\circ$ $\gamma=2\beta$

Ponavljanjem postupka iz prethodnih dvaju slučajeva dobivamo $$\cos\beta=\frac{\sin2\beta}{2\sin\beta}=\frac{\sin\gamma}{2\sin\beta}=\frac{n+1}{2n},$$ $$\cos\beta=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{n^2+2}{2(n^2-1)}.$$ Iz jednadžbe $\frac{n+1}{2n}=\frac{n^2+2}{2(n^2-1)}$ dobivamo kvadratnu jednadžbu $n^2-3n-1=0$, čija rješenja $n_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{13}}2$ su iracionalna.

Dakle, jedino rješenje je trokut sa stranicama duljina $4$, $5$ i $6$.