1. Zadatak

Izraz pod logaritmom je pozitivan jer ne mogu oba korijena istovremeno biti jednaka nuli, a da bi sve bilo definirano treba biti $\frac{1-x}{1+x}\geq0$ i $\frac{1+x}{1-x}\geq0$, odakle dobivamo $x\in\langle-1,1\rangle$.

Primijetimo da je $\log_2 5=\frac1{\log_5 2}$, pa nejednadžba prelazi u $$\log_5\left(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}+\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)>\log_5 2,$$ odakle dobivamo $$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}+\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}>2,$$ odnosno nakon svođenja na zajednički nazivnik, $$\frac1{\sqrt{1-x^2}}>1,\quad\text{tj.}\quad\sqrt{1-x^2}<1.$$ Ovo je ispunjeno za $x\neq0$.

Rješenja nejednadžbe su $x\in\langle-1,0\rangle\cup\langle0,1\rangle$.

Drugo rješenje.

Moraju biti zadovoljeni uvjeti $\frac{1-x}{1+x}\geq0$ i $\frac{1+x}{1-x}\geq0$, odakle se dobiva $x\in\langle-1,1\rangle$.

Primjenom A-G nejednakosti za dva broja vidimo da je $$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}+\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\geq2\sqrt{\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}}=2.$$ Jednakost se postiže za $\frac{1-x}{1+x}=1$, tj. $x=0$, pa mora biti $x\neq0$.

Dakle, rješenje nejednadžbe je $x\in\langle-1,1\rangle\setminus\{0\}$.