3. Zadatak

Presjek ravnine i kocke je četverokut $APMN$. Presjek pravca $CD$ i ravnine je točka $R$, a $T$ je polovište brida $CD$. Duljinu brida kocke označimo s $a$, njezin obujam s $V$, obujam krnje piramide $ADNPCM$ s $V_1$, a obujam preostalog dijela kocke s $V_2$.

Trokuti $ARD$ i $PRC$ su slični pa vrijedi $$\frac{|RD|}{|RC|}=\frac{|DA|}{|CP|}=\frac{a}{\frac a2}=2,$$ odakle je $|RD|=2|RC|\Rightarrow|RC|=|CD|=a$.

Iz sličnosti trokuta $QTR$ i $MCR$ dobivamo $$\frac{|QT|}{|CM|}=\frac{|RT|}{|RC|}=\frac{a+\frac a2}{a}=\frac32,$$ odakle je $|CM|=\frac23|QT|=\frac23\cdot\frac a2=\frac a3$.

Analogno se dobije $|DN|=2|CM|=\frac{2a}{3}$.

Sada je obujam krnje piramide $$V_1=V_{ADNR}-V_{PCMR}=\frac13\cdot\frac{|DA|\cdot|DN|}{2}\cdot|DR|-\frac13\cdot\frac{|CP|\cdot|CM|}{2}\cdot|RC|=\frac{7a^3}{36}.$$ Konačno dobivamo $$\frac{V_1}{V_2}=\frac{V_1}{V-V_1}=\frac{\frac{7a^3}{36}}{a^3-\frac{7a^3}{36}}=\frac7{29}.$$