2. Zadatak

Prvo rješenje.

Označimo osobe iz zadatka prvim slovom njihovog imena. Odaberimo prvo dvije pozicije za D i E između pozicija $1$, $2$, $3$, $4$ ili $5$, a onda ćemo na preostale tri pozicije smjestiti A, B i C.

D i E smjestimo tako da ne ostanu tri pozicije u nizu za A, B, C jer bi tada nužno A moralo sjediti uz B ili C što nije dozvoljeno prema uvjetima zadatka. Dakle, jedine pozicije za $(D,E)$ su $(1,3)$, $(1,4)$, $(2,4)$, $(2,5)$ i $(3,5)$:

1	2	3	4	5
D		E
D			E
	D		E
	D			E
		D		E

Analogno možemo odabrati $5$ pozicija za $(E,D)$, što je ukupno $10$ za taj par osoba.

U svakom od ovih $10$ slučajeva, osim dva, kada su $(D,E)$ ili $(E,D)$ na poziciji $(2,4)$, osobe B i C moramo smjestiti na dvije uzastopne pozicije i to na dva načina: $(B,C)$ ili $(C,B)$.

U tih osam slučajeva je ukupno $8\cdot2=16$ mogućnosti za raspored osoba A, B, C, D i E.

Ako su $(D,E)$ ili $(E,D)$ na poziciji $(2,4)$ osobu A možemo smjestiti na $3$ načina, osobu B na $2$ i C na $1$ način na preostale tri pozicije.

To znači da je u ovom slučaju ukupno $2\cdot3\cdot2\cdot1=12$ rasporeda osoba A, B, C, D i E.

Konačno, ukupno je $16+12=28$ načina da uz dane uvjete Ana, Bruna, Cvita, Dino i Ema sjede na pet mjesta u jednomu redu.

Drugo rješenje.

Izračunat ćemo ukupan broj načina na koji pet osoba može sjesti na pet stolica u nizu i od toga oduzeti broj načina kad A i C ili A i B ili D i E sjede jedno pored drugog.

Ukupno je $5!$ ili $5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120$ načina da A, B, C, D i E rasporedimo na pet pozicija u nizu.

Gledamo li AC kao jednu osobu onda je $4!$ rasporeda u kojima oni sjede zajedno što množimo s $2$ jer mogu sjediti i kao CA. Analogno je $2\cdot4!$ načina da sjede zajedno AB i $2\cdot4!$ načina da sjede zajedno DE.

Zbrojimo li sve ove rasporede kada AC, AB i DE sjede zajedno, zbrojili smo dva puta rasporede u kojima dva od tih parova sjede zajedno. Njih moramo oduzeti od zbroja AB + AC + DE.

Broj rasporeda u kojima sjede zajedno i AC i AB sjede zajedno, odnosno BAC i CAB, jednak je $2\cdot3!$ ($3!$ jer gledamo li BAC kao jednu osobu, razmještamo zapravo $3$ osobe na $3$ mjesta).

Broj rasporeda u kojima sjede zajedno i AC i DE jednak je $2\cdot2\cdot3!$, a isti je broj rasporeda i kad sjede zajedno i AB i DE.

Rasporeda u kojima istovremeno sjede zajedno AB, AC i DE ima $2\cdot2\cdot2$ (BAC i DE gledamo kao dvije osobe koje na $2$ načina razmjestimo na $2$ mjesta, a onda ih međusobno možemo još razmjestit na $2$ načina: BAC i CAB, odnosno DE i ED).

Dakle, ukupan broj načina da prema danim uvjetima Ana, Bruna, Cvita, Dino i Ema sjede na pet mjesta u jednomu redu jednak je:

$$5!-(3\cdot2\cdot4!-2\cdot3!-2\cdot2\cdot3!-2\cdot2\cdot3!+2\cdot2\cdot2)=28.$$