7. Zadatak

Iz $|SB|=|SC|=1$ i $\angle BSC=60^\circ$ slijedi da je trokut $BSC$ jednakostraničan trokut stranice duljine $1$.

Pobočka $BSC$ okomita je na ravninu $ABC$ pa je visina trokuta $BSC$ visina piramide i vrijedi

$$|SN|=\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Trokuti $ABS$ i $ACS$ su sukladni, pa je $|AB|=|AC|$, odnosno trokut $ABC$ je jednakokračan te je njegova težišnica $AN$ ujedno i visina. Stoga je trokut $ANC$ pravokutan trokut. Tada je

$$|AC|^2=|AN|^2+|NC|^2=|AN|^2+\frac14.$$

Iz trokuta $ASC$ primjenom poučka o kosinusu slijedi da je

$$|AC|^2=|AS|^2+|SC|^2-2|AS|\cdot|SC|\cdot\cos60^\circ=|AS|^2+1-|AS|.$$

Dakle,

$$|AN|^2+\frac14=|AS|^2+1-|AS|.$$

Iz trokuta $ANS$ primjenom Pitagorina poučka slijedi

$$|AN|^2=|AS|^2-|SN|^2=|AS|^2-\frac34,$$

pa je

$$|AS|^2-\frac34+\frac14=|AS|^2+1-|AS|,$$

te je $|AS|=\dfrac32$. Tada je

$$|AN|^2=\frac94-\frac34=\frac64,$$

pa je $|AN|=\dfrac{\sqrt6}{2}$. Konačno, traženi je obujam jednak

$$V=\frac13\cdot\frac{|AN|\cdot|BC|}{2}\cdot|SN|=\frac{\sqrt2}{8}.$$