5. Zadatak

Kako je $|AC|=2R$, odnosno dijagonala je promjer dane kružnice, trokuti $ABC$ i $ACD$ su pravokutni (obodni kutovi nad promjerom).

Tada primjenom Pitagorina poučka u trokutu $ABC$ slijedi redom

$$|AB|^2+|BC|^2=4R^2,$$ $$|AB|=|BC|=R\sqrt2,$$

odnosno $\alpha=45^\circ$.

Iz zadanog omjera slijedi

$$\frac{|AD|}{|CD|}=\sqrt3,$$ $$|AD|=|CD|\sqrt3,$$

a onda iz pravokutnog trokuta $ADC$ dobivamo redom

$$|AD|^2+|CD|^2=4R^2,$$ $$|CD|=R.$$

Stoga je trokut $SCD$ jednakostraničan, a $\beta=60^\circ$.

Primijenimo li poučak o kosinusu u trokutu $BCD$ slijedi

$$|BD|^2=|BC|^2+|CD|^2-2|BC|\cdot|CD|\cdot\cos(\alpha+\beta)$$ $$=2R^2+R^2-2\cdot R^2\sqrt2\cdot\cos(45^\circ+60^\circ)$$ $$=3R^2-2\cdot R^2\sqrt2\cdot(\cos45^\circ\cos60^\circ-\sin45^\circ\sin60^\circ)$$ $$=3R^2-2\cdot R^2\sqrt2\cdot\left(\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12-\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}\right)$$ $$=R^2(2+\sqrt3).$$

Dakle, tražena udaljenost jest

$$|BD|=R\sqrt{2+\sqrt3}.$$