6. Zadatak

Prvo rješenje.

Ako kotač napravi $8$ punih okreta u minuti, onda mrlji treba $60:8=7.5$ sekundi za jedan okret.

Gibanje mrlje je očito periodično, pa ćemo ga opisati funkcijom kosinus

$$H(t)=a\cos(b(t+c))+d.$$

Broj $a$ je amplituda, odnosno polovina udaljenosti najniže i najviše točke na kotaču i iznosi $3\ \mathrm{m}$.

Budući da je period jednak $7.5$ sekundi, iz $\dfrac{2\pi}{b}=7.5$ slijedi $b=\dfrac{2\pi}{7.5}=\dfrac{4\pi}{15}$.

Funkcija kosinus dostiže maksimalnu vrijednost u nuli, a kako je mrlja za $t=0$ na najvišoj točki kotača, funkcija nema horizontalni pomak i $c=0$.

Parametar $d$ je vertikalni pomak, a jednak je visini središta kotača, odnosno $d=1+3=4$.

Dakle,

$$H(t)=3\cos\left(\frac{4\pi}{15}t\right)+4.$$

Mrlja će prvi puta ući i izaći iz vode kad bude prvi i drugi puta na visini od $2.5$ metara iznad dna broda u prvom okretu. Stoga rješavamo jednadžbu

$$H(t)=3\cos\left(\frac{4\pi}{15}t\right)+4=2.5.$$

Tada je $\cos\left(\dfrac{4\pi}{15}t\right)=-0.5$, a ova jednadžba ima rješenje

$$\frac{4\pi}{15}t=\pm\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\quad k\in\mathbb Z.$$

Budući da tražimo $t\in[0,7.5]$, slijedi

$$\frac{4\pi}{15}t_1=\frac{2\pi}{3},\qquad \text{i}\qquad \frac{4\pi}{15}t_2=\frac{4\pi}{3},$$

odnosno $t_1=2.5\ \mathrm{s}$, $t_2=5\ \mathrm{s}$.

Mrlja će biti pod vodom $5-2.5=2.5$ sekundi.

Učenici mogu gibanje opisati i nekom varijantom funkcije sinus, primjerice:

$$H(t)=-3\sin\left(\frac{4\pi}{15}t-\frac\pi2\right)+4,$$

ili

$$H(t)=3\sin\left(\frac\pi2-\frac{4\pi}{15}t\right)+4,$$

ili

$$H(t)=3\sin\left(\frac{4\pi}{15}t+\frac\pi2\right)+4.$$

Drugo rješenje.

Promotrimo pravokutan trokut $STX$.

Budući da je $|ST|=H-(R+1)=H-4$, vrijedi da je

$$\cos\alpha=\frac{H-4}{3}$$

te je $H=3\cos\alpha+4$ gdje je $\alpha$ označeni kut $TSX$ za koji kotač zarotira od početne pozicije mrlje do pozicije $X$ za $t$ sekundi. Time smo dobili ovisnost visine $H$ o kutu $\alpha$.

Budući da kotač rotira konstantnom brzinom vrijeme $t$ i kut $\alpha$ su proporcionalne veličine, odnosno $\alpha=k\cdot t$.

Kako za kut od $2\pi$ radijana mrlji treba $60:8=7.5$ sekundi, onda je $k=\dfrac{2\pi}{7.5}$ pa mrlji za kut od $\alpha$ radijana treba $\dfrac{2\pi}{7.5}t=\dfrac{4\pi}{15}t$ sekundi. Dakle, tražena ovisnost jest

$$H(t)=3\cos\left(\frac{4\pi}{15}t\right)+4.$$

Dalje se može računati kao u prvom rješenju ili na sljedeći način.

Promotrimo trokut $ABS$.

$$\cos\angle ASB=\frac{1.5}{3}=0.5,$$

pa je $\angle ASB=\dfrac\pi3$.

Slijedi da je kut za koji kotač zarotira da mrlja dođe u poziciju $A$, u kojoj prvi puta uđe pod vodu, jednak $\pi-\dfrac\pi3=\dfrac{2\pi}{3}$. Za to joj je potrebno

$$\frac{\frac{2\pi}{3}}{\frac{4\pi}{15}}=2.5\text{ sekundi}.$$

Očito, će u poziciju $C$ mrlja doći kad kotač zarotira za još $\dfrac{2\pi}{3}$ radijana, pa je mrlja pod vodom $2.5$ sekunde.