2. Zadatak

Ako se $10\%$ površine kruga $K_1$ nalazi izvan zajedničkoga presjeka, tada je površina presjeka jednaka $90\%$ površine kruga $K_1$.

Ako se $60\%$ površine kruga $K_2$ nalazi izvan zajedničkoga presjeka, tada je površina presjeka jednaka $40\%$ površine kruga $K_2$.

Označimo li s $R_1$ polumjer kruga $K_1$, s $R_2$ polumjer kruga $K_2$, dobivamo

$$\frac{90}{100}R_1^2\pi=\frac{40}{100}R_2^2\pi,$$

odnosno

$$\frac{R_1^2}{R_2^2}=\frac49$$

i konačno

$$\frac{R_1}{R_2}=\frac23.$$

Ukupnu osjenčanu površinu računamo kao $P(K_1)+60\%P(K_2)$ ili $P(K_2)+10\%P(K_1)$ ili $P(K_1)+P(K_2)-P(K_1\cap K_2)$.

Tako dobivamo

$$P(K_1)+P(K_2)-P(K_1\cap K_2) =R_1^2\pi+R_2^2\pi-0{,}90R_1^2\pi=94\pi.$$

Slijedi

$$R_1^2+R_2^2-0{,}90R_1^2=94,$$

odnosno zbog $R_2^2=\frac94R_1^2$,

$$R_1^2+\frac94R_1^2-0{,}90R_1^2=94,$$ $$\frac{94}{40}R_1^2=94,$$

te je $R_1^2=40$.

Odavde dobivamo $R_1=2\sqrt{10}$, $R_2=3\sqrt{10}$ i konačno

$$R_1+R_2=5\sqrt{10}.$$

Napomena. Omjer polumjera može se izračunati i na sljedeći način.

Označimo površinu presjeka s $I$. Tada dijelovi izvan presjeka imaju površine $\frac19I$ za $K_1$ i $\frac32I$ za $K_2$, pa je

$$P(K_1\cup K_2)=I+\frac19I+\frac32I=\frac{47}{18}I.$$

Prema tome, presjek zauzima $\frac{18}{47}$ površine unije, a cijeli krugovi redom $\frac{20}{47}$ i $\frac{45}{47}$ površine unije. Zato je

$$\frac{P(K_1)}{P(K_2)} =\frac{\frac{20}{47}P(K_1\cup K_2)}{\frac{45}{47}P(K_1\cup K_2)} =\frac{20}{45}=\frac49.$$

Slijedi $\frac{R_1}{R_2}=\frac23$ (jer se kvadrati polumjera odnose kao i površine).