7. Zadatak

Neka je $ABC$ pravokutan trokut s pravim kutom u vrhu $C$, te neka je $\beta=\angle ABC=60^\circ$. Zarotiramo li trokut $ABC$ oko vrha $C$ za $30^\circ$ u pozitivnom smjeru dobivamo trokut $A'B'C$ kao na sljedećoj skici.

Kut $\beta=60^\circ$, $\angle A'CB=90^\circ-30^\circ=60^\circ$ pa je trokut $CDB$ jednakostraničan duljine stranice $4$.

Iz Pitagorina poučka dobivamo $|CA|=\sqrt{|AB|^2-|CB|^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt3$.

Kako je dužina $\overline{CF}$ visina na hipotenuzu pravokutnog trokuta $CA'B'$ dobivamo da je

$$|CF|=\frac{|CA'|\cdot|CB'|}{|A'B'|}=\frac{4\sqrt3\cdot4}{8}=2\sqrt3.$$

Stoga je $|BF|=|BC|-|CF|=4-2\sqrt3$.

Kut $\angle BEF=30^\circ$ (jer je to kut između dužine $\overline{AB}$ i njenom rotacijom dobivene dužine $\overline{A'B'}$), a budući da je $\angle EBF=60^\circ$, trokut $FEB$ je pola jednakostraničnog trokuta.

Stoga, vrijedi $|BE|=2\cdot|BF|=8-4\sqrt3$ i $|FE|=\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot|BE|=4\sqrt3-6$.

Sada je $P_{FEB}=\frac12|FE|\cdot|BF|=\frac12(4\sqrt3-6)\cdot(4-2\sqrt3)=14\sqrt3-24$.

Nadalje, dobivamo da je površina trokuta $CDB$ jednaka $P_{CDB}=\dfrac{4^2\sqrt3}{4}=4\sqrt3$.

Konačno, površina zajedničkog dijela trokuta $ABC$ i $A'B'C$ iznosi

$$P=P_{CDB}-P_{FEB}=4\sqrt3-(14\sqrt3-24)=24-10\sqrt3.$$

Napomena: Učenik koji zarotira trokut u suprotnom smjeru treba dobiti isti rezultat i sve bodove.