4. Zadatak

Rastavimo li broj $2565$ na proste faktore dobivamo $2565=3^3\cdot5\cdot19$.

Broj $2565\cdot n$ je kvadrat nekog broja ako i samo ako se u rastavu tog broja na proste faktore svaki prosti faktor pojavljuje paran broj puta. Uočimo da se u dobivenom rastavu svaki prosti faktor pojavljuje neparan broj puta.

Prema tome najmanji prirodan broj koji pomnožen s brojem $2565$ daje potpun kvadrat dobivamo tako da svaki od prostih faktora odaberemo točno jednom.

Dakle, traženi broj $n$ jednak je $n=3\cdot5\cdot19=285$.