6. Zadatak

Danu kvadratnu jednadžbu pišemo u obliku

$$px^2+2px+2p-3=0.$$

Za njezina rješenja vrijede Vieteove formule:

$$x_1+x_2=-2,\qquad x_1\cdot x_2=\frac{2p-3}{p}.$$

Napišimo zadanu nejednakost u pogodnom obliku.

$$\left|x_1^3x_2+x_1x_2^3\right|\ge6$$ $$\left|x_1x_2(x_1^2+x_2^2)\right|\ge6$$ $$\left|x_1x_2\left[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\right]\right|\ge6.$$

Tada iz Vieteovih formula slijedi

$$\left|\frac{2p-3}{p}\left[(-2)^2-2\cdot\frac{2p-3}{p}\right]\right|\ge6$$ $$\left|\frac{2p-3}{p}\cdot\frac6p\right|\ge6$$ $$\left|\frac{2p-3}{p^2}\right|\ge1.$$

Slijedi

$$\frac{2p-3}{p^2}\ge1\quad\text{ili}\quad\frac{2p-3}{p^2}\le-1.$$

Tada je

$$p^2-2p+3\le0\quad\text{ili}\quad p^2+2p-3\le0.$$

Nejednadžba $p^2-2p+3\le0$ nema realnih rješenja.

Rješenje nejednadžbe $p^2+2p-3\le0$, uz uvjet zadatka da je $p\ne0$, je skup

$$[-3,1]\setminus\{0\}.$$