5. Zadatak

Kako je $v:t=12:13$, možemo pisati $v=12k$, $t=13k$, $k\in\mathbb{N}$.

U pravokutnom je trokutu težišnica jednaka polumjeru trokutu opisane kružnice, odnosno polovini duljine hipotenuze.

Stoga vrijedi $|AD|=|DB|=t=13k$. Iz pravokutnog trokuta $\triangle CDE$ dobivamo

$$|DE|=\sqrt{(13k)^2-(12k)^2}=5k$$ $$|EB|=13k-5k=8k.$$

Vrijedi

$$b^2=v^2+|AE|^2=(12k)^2+(18k)^2=468k^2$$ $$a^2=v^2+|BE|^2=(12k)^2+(8k)^2=208k^2.$$

Tada je omjer kateta jednak

$$\left(\frac ba\right)^2=\frac{468k^2}{208k^2}=\frac94$$ $$\frac ba=\frac32\quad\text{ili}\quad b:a=3:2.$$