7. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $\alpha=\angle FAB$, $\beta=\angle EFD$. Označimo površine paralelograma $ABFE$ i $EFCD$ s $P_1$ i $P_2$ redom. Vrijedi $P_1:P_2=2:1$, odnosno

$$|AB||AE|\sin60^\circ=2|EF||ED|\sin60^\circ.$$

Iz $|AB|=|EF|=10$ slijedi $|AE|=2|ED|$.

Nadalje, $P_{ABCD}=|AB||AD|\sin60^\circ$ pa iz

$$75\sqrt3=|AB||AD|\sin60^\circ$$

slijedi $|AD|=15$.

Sada je $|AD|=|AE|+|ED|=3|ED|$, odnosno $|ED|=5$ i $|AE|=10$.

Dakle, paralelogram $ABEF$ je romb pa mu dijagonale raspolavljaju kutove. Slijedi

$$\alpha=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ.$$

Promotrimo sada trokut $DEF$. Znamo da je mjera kuta pri vrhu $E$ jednaka $60^\circ$. Spustimo visinu $v$ iz vrha $D$.

$$\sin60^\circ=\frac{v}{|ED|} \Rightarrow v=|ED|\sin60^\circ=2.5\sqrt3$$

i

$$\cos60^\circ=\frac{x}{|ED|} \Rightarrow x=|ED|\cos60^\circ=2.5.$$

Sada je $10-x=7.5$ pa je

$$\operatorname{tg}\beta=\frac{v}{10-x} =\frac{2.5\sqrt3}{7.5} \Rightarrow \beta=30^\circ.$$

Drugo rješenje.

Slika i oznake su kao u prvom rješenju.

Označimo površine paralelograma $ABFE$ i $EFCD$ s $P_1$ i $P_2$ redom. Vrijedi $P_1:P_2=2:1$, odnosno

$$|AB||AE|\sin60^\circ=2|EF||ED|\sin60^\circ.$$

Iz $|AB|=|EF|=10$ slijedi $|AE|=2|ED|$.

Nadalje, $P_{ABCD}=|AB||AD|\sin60^\circ$ pa iz

$$75\sqrt3=|AB||AD|\sin60^\circ$$

slijedi $|AD|=15$.

Sada je $|AD|=|AE|+|ED|=3|ED|$, odnosno $|ED|=5$ i $|AE|=10$.

Dakle, paralelogram $ABEF$ je romb pa mu dijagonale raspolavljaju kutove. Slijedi

$$\alpha=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ.$$

Promotrimo sada trokut $DEF$. Iz poučka o kosinusu slijedi

$$|DF|^2=10^2+5^2-2\cdot10\cdot5\cos60^\circ,$$

pa je $|DF|=5\sqrt3$.

Sada po poučku o sinusima vrijedi

$$\frac{|DF|}{\sin60^\circ}=\frac{|DE|}{\sin\beta}.$$

Odatle je $\sin\beta=\dfrac12$ pa je $\beta=30^\circ$.