6. Zadatak

Uvjeti:

$$2x>0, \qquad |x-1|>0, \qquad |x-1|\neq 1$$

pa mora biti $x>0$, $x\neq 1$, $x\neq 2$.

1. slučaj: $|x-1|>1$, tj. $x>2$.

$$\begin{aligned} \log_{|x-1|}(2x)&\geq 1\\ 2x&\geq |x-1|\\ 2x&\geq x-1\\ x&\geq -1. \end{aligned}$$

Rješenje 1. slučaja: $x\geq -1$ i $x>2$ daje $x>2$.

2. slučaj: $0<|x-1|<1$ pa mora biti $0<x<2$ i $x\neq 1$.

$$\begin{aligned} \log_{|x-1|}(2x)&\geq 1\\ 2x&\leq |x-1|. \end{aligned}$$

I. Ako je $0<x<1$ onda je $2x\leq -x+1$, tj. $3x\leq 1$.

Iz $x\leq\dfrac13$ i $0<x<1$ slijedi

$$0<x\leq\frac13.$$

II. Ako je $1<x<2$ onda je $2x\leq x-1$, tj. $x\leq -1$.

U ovom slučaju presjek je prazan skup.

Konačno rješenje:

$$x\in\left\langle0,\frac13\right]\cup\left\langle2,+\infty\right\rangle.$$