2. Zadatak

Uvedemo li supstituciju $2^x=t$, dobit ćemo kvadratnu jednadžbu

$$t^2-(a+3)t+4a-4=0. \tag{*}$$

Ova jednadžba mora imati samo jedno pozitivno rješenje. To se može dogoditi u dva slučaja.

1. Jednadžba $(*)$ ima samo jedno rješenje, koje mora biti pozitivno, odnosno vrijedi $D=0$ i $t>0$. Slijedi

$$(a+3)^2-4(4a-4)=0\quad\text{i}\quad\frac{a+3}{2}>0$$ $$\Longleftrightarrow\quad a^2-10a+25=0\quad\text{i}\quad a>-3$$ $$\Longleftrightarrow\quad a=5\quad\text{i}\quad t=4.$$

Tada je $2^x=4$, pa je $x=2$.

2. Jednadžba $(*)$ ima dva rješenja, ali samo je jedno pozitivno. Treba vrijediti $D>0$ i $t_1\cdot t_2\le0$.

Iz prvog slučaja vidimo da je $D>0$ za sve $a\in\mathbb R$, $a\ne5$. Prema Vieteovim formulama je $t_1\cdot t_2=4a-4$, pa slijedi

$$4a-4\le0\quad\Longrightarrow\quad a\le1.$$

Konačno rješenje zadatka je

$$a\in\langle-\infty,1]\cup\{5\}.$$