6. Zadatak

Prvo funkciju zapišemo u obliku:

$$\begin{aligned} f(x)&=\frac{\sin3x}{\sin x}+\frac{\cos3x}{\cos x}\\ &=\frac{\sin3x\cdot\cos x+\cos3x\cdot\sin x}{\sin x\cdot\cos x}\\ &=\frac{\sin4x}{\sin x\cdot\cos x}. \end{aligned}$$

Ova funkcija nije definirana za realne brojeve za koje je $\sin x\cdot\cos x=0$. Zato mora biti

$$x\ne\frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb Z. \tag{*}$$

Sada je

$$f(x)=\frac{\sin4x}{\sin x\cdot\cos x} =\frac{2\sin2x\cdot\cos2x}{\sin x\cdot\cos x} =\frac{4\sin x\cdot\cos x\cdot\cos2x}{\sin x\cdot\cos x} =4\cos2x.$$

(a) Treba riješiti jednadžbu $4\cos2x=2$. Slijedi $\cos2x=\frac12$. Rješenja su

$$2x=\pm\frac\pi3+2k\pi,$$

odnosno

$$x=\pm\frac\pi6+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.$$

(b) Funkcija će biti pozitivna ako je $4\cos2x>0$, odnosno ako je

$$2x\in\left\langle-\frac\pi2+2k\pi,\frac\pi2+2k\pi\right\rangle, \qquad k\in\mathbb Z,$$ $$\Longleftrightarrow\quad x\in\left\langle-\frac\pi4+k\pi,\frac\pi4+k\pi\right\rangle, \qquad k\in\mathbb Z.$$

Zbog $(*)$ funkcija poprima pozitivne vrijednosti za sve realne brojeve iz intervala

$$x\in\left\langle-\frac\pi4+k\pi,k\pi\right\rangle \cup \left\langle k\pi,\frac\pi4+k\pi\right\rangle, \qquad k\in\mathbb Z.$$

Napomena. Ukoliko je učenik rješavao jednadžbu i nejednadžbu bez da je prethodno napisao funkciju u obliku $f(x)=4\cos2x$, već je svaki od zadataka (a) i (b) rješavao posebno, tada svaki dio zadatka nosi $5$ bodova. U zadatku (a) skiniti $1$ bod ukoliko se nije vodilo računa o domeni funkcije, jer se i u tom slučaju može dobiti točno rješenje.