7. Zadatak

Prvo rješenje.

Površina romba $X$ je

$$P=4\cdot\frac{d\cdot h}{2}=2dh=2h\sqrt{a^2-h^2}=\sqrt{4h^2a^2-4h^4}.$$

Iz površine sukladnih rombova $a\cdot h=\sqrt{2017}$, pa je $a^2h^2=2017$ te vrijedi

$$P=\sqrt{4\cdot2017-4h^4}=\sqrt{8068-4h^4}.$$

Broj $P$ je cijeli broj samo ako je ispod korijena kvadrat cijelog broja. Kako je $8100=90^2$ i $7921=89^2$, ima najviše $89$ traženih brojeva. Najveća vrijednost koju $P$ može poprimiti je $89$, a zatim redom $88,87,\ldots$.

Za $P=89$ duljina dijagonale $2h$ nije racionalan broj. Ako je $P=88$, tada je

$$4h^4=8068-88^2=324 \quad\Longrightarrow\quad h=3 \quad\Longrightarrow\quad d=\frac{P}{2h}=\frac{44}{3}.$$

Drugo rješenje.

Označimo šiljasti kut romba $T$ s $\alpha$, a stranicu s $a$. Tada je

$$a^2\sin\alpha=\sqrt{2017}.$$

Površinu romba $X$ računamo na sljedeći način:

$$\begin{aligned} P&=a^2\sin(180^\circ-2\alpha)=a^2\sin2\alpha\\ &=a^2\cdot2\sin\alpha\cdot\cos\alpha =2\sqrt{2017}\cos\alpha\\ &=2\sqrt{2017}\sqrt{1-\sin^2\alpha} =2\sqrt{2017}\sqrt{1-\frac{2017}{a^4}}\\ &=2\sqrt{2017-\frac{2017^2}{a^4}}. \end{aligned}$$

Kako $P$ mora biti pozitivan cijeli broj, vrijedi

$$4\left(2017-\frac{2017^2}{a^4}\right)=P^2,\qquad P\in\mathbb N,$$ $$4\cdot2017-P^2=4\cdot\frac{2017^2}{a^4}.$$

Budući da je $4\cdot2017-P^2>0$, slijedi $1\le P\le89$. Takvih brojeva ima $89$.

Dijagonale romba $X$ računamo kao i u prvom rješenju.