4. Zadatak

U trapezu $ABCD$ je $AB\parallel CD$ , $|AB|=22$ , $|BC|=10$ , $|CD|=38$ , $|DA|=14$ . Kutovi trapeza pri vrhovima $A$ i $B$ su tupi. Simetrale kutova pri vrhovima $A$ i $D$ sijeku se u točki $E$ , a simetrale kutova pri vrhovima $B$ i $C$ u točki $F$ . Izračunajte površinu šesterokuta $ABFCDE$ .

Rješenje

Prvo rješenje.

Skica prvog rješenja

Označimo kut $\angle DAB$ s $2\alpha$ . Tada je kut $\angle DAE$ jednak $\alpha$ . Zbog paralelnosti (osnovica trapeza) slijedi $\angle ADC=180^\circ-2\alpha$ , odnosno $\angle ADE=90^\circ-\alpha$ . Tada je kut $\angle AED=90^\circ$ . Analogno zaključujemo da je i kut $\angle BFC=90^\circ$ .

Neka je sad $G$ presjek $CD$ i $AE$ (simetrale kuta kod vrha $A$ ). Slično, neka je $H$ presjek $CD$ i $BF$ .

Kutovi $\angle DGA$ i $\angle DAG$ su sukladni (paralelni kraci), a isto tako su sukladni i kutovi $\angle GDE$ i $\angle ADE$ jer je $DE$ simetrala kuta. Stranica $DE$ je zajednička stranica trokutima $GDE$ i $ADE$ , stoga su ti trokuti sukladni, pa je trokut $AGD$ jednakokračan trokut. Analogno zaključujemo i da je trokut $BCH$ jednakokračan. Stoga je površina trokuta $DEG$ jednaka polovini površine trokuta $ADG$ , a površina trokuta $BFC$ jednaka je polovini površine trokuta $BCH$ .

Površina šesterokuta $ABFCDE$ jednaka je:

\begin{aligned} P_{ABFCDE}&=P_{ABCD}-\frac12P_{BCH}-\frac12P_{ADG}\\ &=\frac{22+38}{2}\cdot h-\frac12\cdot\frac{10\cdot h}{2}-\frac12\cdot\frac{14\cdot h}{2}\\ &=h(60-12)=24h, \end{aligned}

gdje je $h$ visina danog trapeza $ABCD$ .

Visinu računamo iz trokuta $BCK$ , koji dobijemo povlačenjem paralele $BK$ s krakom $AD$ kroz vrh $B$ . Duljine stranica trokuta $BCK$ su $10,16,14$ pa njegovu površinu računamo koristeći Heronovu formulu:

P_{BCK}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\qquad s=\frac{a+b+c}{2},

P_{BCK}=40\sqrt3.

Slijedi

\frac{h\cdot16}{2}=40\sqrt3,\qquad h=5\sqrt3.

Sada je tražena površina jednaka

P_{ABFCDE}=24h=24\cdot5\sqrt3=120\sqrt3.

Drugo rješenje.

Slika i oznake kao i u prvom rješenju.

Kao i u prvom rješenju pokaže se da su trokuti $AGD$ i $BCH$ jednakokračni, odnosno da su točke $E$ i $F$ redom polovišta dužina $AG$ i $BH$ .

Sada zaključujemo da je $EF$ srednjica trapeza $ABHG$ , pa je njezina duljina

|EF|=\frac{22+14}{2}=18.

Visinu početnog trapeza $ABCD$ računamo kao i u prvom rješenju iz trokuta $BCK$ :

\frac{h\cdot16}{2}=\sqrt{20(20-10)(20-16)(20-14)},\qquad h=5\sqrt3.

Traženu površinu šesterokuta možemo računati kao zbroj površina trapeza $ABFE$ i trapeza $EFCD$ :

\begin{aligned} P_{ABFCDE}&=P_{ABEF}+P_{EFCD}\\ &=\frac{22+18}{2}\cdot\frac h2+\frac{18+38}{2}\cdot\frac h2\\ &=(20+28)\frac h2=24\cdot5\sqrt3=120\sqrt3. \end{aligned}