2. Zadatak

Dane periodične brojeve prikažimo u obliku razlomaka:

$$0.\dot{x}=\frac{x}{9},\qquad 0.\dot{x}\dot{y}=\frac{10x+y}{99},\qquad 0.\dot{x}\dot{y}\dot{z}=\frac{100x+10y+z}{999}.$$

Nakon uvrštavanja u danu jednakost dobivamo

$$\frac{x}{9}+\frac{10x+y}{99}+\frac{100x+10y+z}{999}=\frac{445}{333}.$$

Sada množimo s najmanjim zajedničkim nazivnikom:

$$x\cdot37\cdot3\cdot11+(10x+y)\cdot37\cdot3+(100x+10y+z)\cdot11=445\cdot3\cdot11.$$

Kako svi pribrojnici, osim drugog, sadrže faktor $11$ te su djeljivi s $11$, jedina je mogućnost da broj $10x+y$ bude djeljiv s $11$, odnosno da su znamenke $x$ i $y$ jednake.

Tada prethodna jednakost prelazi u

$$\begin{aligned} x\cdot37\cdot3\cdot11+(11x)\cdot37\cdot3+(110x+z)\cdot11&=445\cdot3\cdot11,\\ x\cdot37\cdot3+x\cdot37\cdot3+(110x+z)&=445\cdot3,\\ 332x+z&=1335,\\ z&=1335-332x. \end{aligned}$$

Kako je $z$ znamenka, vrijedi

$$0\le 1335-332x\le 9 \quad\Longrightarrow\quad 3.99<x<4.1 \quad\Longrightarrow\quad x=4=y.$$

Zato je $z=1335-332\cdot4=7$.

Brojevi su

$$\frac49=0.\dot4,\qquad \frac{44}{99}=0.\dot4\dot4,\qquad \frac{447}{999}=0.\dot4\dot4\dot7.$$