7. Zadatak

Izraz $n^4+7(7+2n^2)$ možemo zapisati u sljedećem obliku:

$$n^4+7(7+2n^2)=n^4+49+14n^2=(n^2+7)^2.$$

Kako je $n$ neparan broj, možemo pisati $n=2k+1$.

$$(n^2+7)^2=\big((2k+1)^2+7\big)^2=(4k^2+4k+8)^2.$$

Nakon izlučivanja broja $4$ slijedi:

$$(4k^2+4k+8)^2=\big(4(k^2+k+2)\big)^2=16(k^2+k+2)^2.$$

Dobiveni je izraz djeljiv sa $16$. Pogledajmo izraz u zagradi:

$$k^2+k+2=k(k+1)+2.$$

$k(k+1)$ je umnožak dva uzastopna broja, pa je to sigurno paran broj. Kako je i $2$ paran broj, to je i njihov zbroj paran. Dakle, izraz $k^2+k+2$ je djeljiv s $2$, a kvadrat tog izraza je djeljiv sa $4$. Time je $16(k^2+k+2)^2$ djeljivo sa $16\cdot4=64$, pa smo dokazali tvrdnju.