6. Zadatak

Prvo rješenje.

Traženi broj zapisujemo u obliku $\overline{a9b}$. Vrijedi

$$a+9+b=17,\qquad a+b=8.$$

Novi broj je $\overline{b9a}$, a prema uvjetu zadatka vrijedi

$$\overline{b9a}=100+2\cdot\overline{a9b}.$$

Dakle,

$$100b+90+a=100+2(100a+90+b).$$

Slijedi

$$100b-2b=200a-a+280-90, \qquad 98b=199a+190.$$

Kako je $a+b=8$, $b=8-a$, slijedi

$$98(8-a)=199a+190,$$ $$784-98a=199a+190, \qquad -297a=-594,$$

odakle je $a=2$, odnosno $b=8-a=6$.

Traženi broj je $\overline{a9b}=296$.

Drugo rješenje.

Traženi broj zapisujemo u obliku $\overline{a9b}$. Vrijedi $a+9+b=17$, $a+b=8$.

Novi broj je $\overline{b9a}$, a prema uvjetu zadatka vrijedi

$$\overline{b9a}=100+2\cdot\overline{a9b}. \tag{*}$$

Brojevi $a$ i $b$ ne mogu biti jednaki $0$, a kako je $a+b=8$, tada za znamenke vrijedi

$$a,b\in\{1,2,3,4,5,6,7\}.$$

Raspisivanjem kombinacija dobivamo $a=2$, $b=6$, odnosno riječ je o broju $296$.

Za ostale kombinacije ne vrijedi uvjet $(*)$:

$$\begin{aligned} &(a,b)=(1,7)\Rightarrow 197,791,\qquad (a,b)=(3,5)\Rightarrow 395,593,\\ &(a,b)=(4,4)\Rightarrow 494,494,\qquad (a,b)=(5,3)\Rightarrow 593,395,\\ &(a,b)=(6,2)\Rightarrow 692,296,\qquad (a,b)=(7,1)\Rightarrow 791,197. \end{aligned}$$