2. Zadatak

Prvo rješenje.

Kvadriranjem jednakosti $\sin^2x+\cos^2x=1$ dobivamo $\sin^4x+\cos^4x=1-2\sin^2x\cos^2x$,

pa je dana jednadžba ekvivalentna sa $2\sin^2x\cos^2x=\frac38$.

Slijedi $\sin^22x=\frac34$.

Iz $\sin2x=\frac{\sqrt3}{2}$ slijedi

$$2x=\frac\pi3+2k\pi,\ k\in\mathbb Z\quad\text{ili}\quad2x=\frac{2\pi}3+2k\pi,\ k\in\mathbb Z.$$

Iz $\sin2x=-\frac{\sqrt3}{2}$ slijedi

$$2x=-\frac\pi3+2k\pi,\ k\in\mathbb Z\quad\text{ili}\quad2x=-\frac{2\pi}3+2k\pi,\ k\in\mathbb Z.$$

Dakle, rješenja dane jednadžbe su

$$x\in\left\{-\frac\pi3+k\pi,-\frac\pi6+k\pi,\frac\pi6+k\pi,\frac\pi3+k\pi\mid k\in\mathbb Z\right\}.$$

Drugo rješenje.

Neka je $t=\sin^2x$. Tada je $\sin^4x=t^2$ i $\cos^4x=(1-t)^2$.

Zato umjesto polazne jednadžbe rješavamo kvadratnu jednadžbu

$$t^2+(1-t)^2=\frac58.$$

Sređivanjem dobivamo $2t^2-2t+\frac38=0$, što ima rješenja $t_1=\frac14$, $t_2=\frac34$.

Sada iz $\sin^2x=\frac14$ slijedi $\sin x=\pm\frac12$,

$$x=\frac\pi6+2k\pi,\quad x=\frac{5\pi}6+2k\pi,\quad x=-\frac\pi6+2k\pi,\quad x=-\frac{5\pi}6+2k\pi.$$

Iz $\sin^2x=\frac34$ dobivamo $\sin x=\pm\frac{\sqrt3}{2}$ odnosno

$$x=\frac\pi3+2k\pi,\quad x=\frac{2\pi}3+2k\pi,\quad x=-\frac\pi3+2k\pi,\quad x=-\frac{2\pi}3+2k\pi.$$