7. Zadatak

Kako je logaritam definiran samo za pozitivne realne brojeve i baza mora biti različita od jedan, vrijedi $x>0$ i $x\ne1$.

Tada zadana nejednadžba prelazi u

$$\sqrt{72\cdot3^{x+1}+81}\ge\left|3^{x+1}-9\right|+3^x\cdot3.$$

i imamo dva slučaja.

1) Ako je $3^{x+1}-9\ge0$, odnosno $x>1$ ($x\ne1$), tada je

$$\sqrt{72\cdot3^{x+1}+81}\ge3^{x+1}-9+3^{x+1}$$

što uz zamjenu $3^{x+1}=t$ daje

$$\sqrt{72\cdot t+81}\ge2t-9.$$

Kako su obje strane pozitivne (jer je $t>9$), nakon kvadriranja i sređivanja nejednadžbe dobivamo

$$4t^2-108t\le0.$$

Rješenje ove nejednadžbe je interval $[0,27]$. Slijedi $3^{x+1}\le3^3$, odnosno $x+1\le3$. Kako je $x>1$, slijedi $x\in\langle1,2]$.

2) Ako je $3^{x+1}-9<0$, odnosno $x<1$, tada je

$$\sqrt{72\cdot3^{x+1}+81}\ge-3^{x+1}+9+3^{x+1}$$ $$\sqrt{72\cdot3^{x+1}+81}\ge9$$ $$72\cdot3^{x+1}+81\ge81$$ $$3^{x+1}\ge0$$

Ova je nejednakost, uz sve prethodne uvjete, ispunjena za sve $0<x<1$.

Konačno je rješenje interval $\langle0,2]\setminus\{1\}$.