5. Zadatak

$\frac12+\frac14+\frac18+\ldots$ je geometrijski red kojemu je $a_1=\frac12$, $q=\frac12<1$ pa je njegova suma

$$S=\frac12\cdot\frac{1}{1-\frac12}=1.$$

Tada je

$$\cos4\alpha=\frac{3}{\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{5\cdots}}}}}=\frac{3}{5^{\frac12+\frac14+\frac18+\cdots}}=\frac35.$$ $$(\tg\alpha+\ctg\alpha)^2=\left(\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}\right)^2=\frac4{\sin^22\alpha}=\frac8{1-\cos4\alpha}=\frac8{1-\frac35}=20.$$