Neka je ABC jednakostraničan trokut. Na pravcu AB odabrana je točka P tako da točka A leži između točke P i točke B. Neka je a duljina stranice trokuta ABC, r1 polumjer upisane kružnice trokutu PAC i r2 polumjer kružnice pripisane trokutu PBC u odnosu na stranicu BC. Odredite zbroj r1+r2 kao funkciju od a.
Rješenje
∠T1O1R=60∘ (suplement kuta ∠T1AR=120∘)
∠AO1T1=30∘∣T1T2∣=∣T1A∣+∣AB∣+∣BT2∣(1)tg30∘=r1∣T1A∣,∣T1A∣=r1⋅tg30∘=3r1(2)
Analogno, ∠BO2T2=30∘tg30∘=r2∣BT2∣,∣BT2∣=r2⋅tg30∘=3r2(3)
Uvrstimo (2) i (3) u (1).
∣T1T2∣=3r1+a+3r2=3r1+r2+a.∣T1′T2′∣=∣T1′C∣+∣CT2′∣=∣CR∣+∣CS∣=(a−∣RA∣)+(a−∣BS∣)∣AR∣=∣T1A∣i∣BS∣=∣BT2∣∣T1′T2′∣=2a−3r1+r2.
Kako je ∣T1T2∣=∣T1′T2′∣, imamo:
2a−3r1+r2=3r1+r2+a2⋅3r1+r2=ar1+r2=2a3
