3. Zadatak

Neka su $a$ i $c$ $(a>c)$ osnovice trapeza, a $b$ je krak trapeza. Tada iz nejednakosti trokuta zaključujemo da je $$a<2b+c.$$ Ako na obje strane dodamo $a$, dobivamo $$2a<a+2b+c=2010\quad\text{ili}\quad a<\frac{2010}2=1005.$$ Dakle $a\in\{1,2,3,\ldots,1004\}$.

Ako je $a=1004$, $c<a$, onda je $$b=\frac{2010-a-c}2=\frac{1006-c}2.$$ Zaključujemo da je $c$ paran broj manji od 1003, odnosno $c\in\{2,4,6,\ldots,1002\}$, a takvih je 501.

Ako je $a=1003$, $c<a$, onda je $$b=\frac{2010-a-c}2=\frac{1007-c}2.$$ Zaključujemo da je $c$ neparan broj manji od 1004, odnosno $c\in\{1,3,5,\ldots,1001\}$, a takvih je 501.

Ako je $a=1002$, $c<a$, onda je $$b=\frac{2010-a-c}2=\frac{1008-c}2.$$ Zaključujemo da je $c$ paran broj manji od 1002, odnosno $c\in\{2,4,6,\ldots,1000\}$, a takvih je 500.

Analogno za $a=1001$ dobivamo novih 500 trapeza, te istim postupkom nastavljamo sve do $a=4$, $a=3$ za koje postoji samo jedan traženi trapez. $a$ ne može biti 1 ili 2.

Ukupan broj svih trapeza s danim svojstvom je $$2(1+2+3+\cdots+501)=2\cdot\frac{501\cdot(1+501)}2=251502.$$