3. Zadatak

Utvrdimo najprije s koliko nula završava broj $26!$. Treba odrediti potenciju broja 5 u rastavu tog broja na proste faktore (jer se faktor 2 javlja više puta).

Kako je $26!=26\cdot25\cdot24\cdot\ldots\cdot3\cdot2\cdot1$, broj 5 se pojavljuje kao faktor brojeva 5, 10, 15, 20 i 25. Uočimo još da je $25=5^2$ pa je najveća potencija broja 5 u rastavu broja $26!$ jednaka $5^6$.

Broj $26!$ završava sa 6 nula. Dakle, $y=0$.

Odredimo vrijednost znamenke $x$. Dani broj mora biti djeljiv s 9 pa je i zbroj njegovih znamenaka djeljiv s 9.

Zbroj znamenaka danog broja je

$$\begin{aligned} 4+0+3+2+9+1+x+6+1+1+2+6+6+0+5+6+3+5+5+8+x\\ =73+2x. \end{aligned}$$

Da bi broj $73+2x=8\cdot9+1+2x$ bio djeljiv s 9, mora $1+2x$ biti djeljivo s 9, a to je moguće jedino ako je $2x=8$, odnosno $x=4$.

Tražene znamenke su $x=4$ i $y=0$.