5. Zadatak

Prvo rješenje.

Razlikujemo četiri slučaja:

Prvi slučaj. Na svakom od pravaca $a$, $b$ i $c$ nalazi se po jedan vrh trokuta. S obzirom da tražimo najveći mogući broj trokuta, pretpostavljamo da odabrane trojke točaka nisu kolinearne. Vrh koji je na pravcu $a$ biramo na tri načina, vrh na pravcu $b$ na četiri načina, a vrh na pravcu $c$ na pet načina. Ukupno postoji $3\cdot4\cdot5=60$ takvih trokuta.

Drugi slučaj. Dva vrha trokuta su na pravcu $a$, a treći vrh na jednom od ostala dva pravca. Takvih trokuta ima

$$\binom32\cdot(4+5)=27.$$

Treći slučaj. Dva vrha su na pravcu $b$, a treći vrh na jednom od ostala dva pravca. Takvih trokuta ima

$$\binom42\cdot(3+5)=48.$$

Četvrti slučaj. Dva vrha su na pravcu $c$, a treći vrh na jednom od ostala dva pravca. Takvih trokuta ima

$$\binom52\cdot(3+4)=70.$$

Konačno, postoji najviše $60+27+48+70=205$ takvih trokuta.

Drugo rješenje.

Od danih 12 točaka tri točke možemo odabrati na $\binom{12}{3}=220$ načina.

Od tog broja treba oduzeti broj načina za odabir tri točke na istom pravcu ($a$, $b$ ili $c$).

Traženi broj je

$$\binom{12}{3}-\left(\binom33+\binom43+\binom53\right)=220-(1+4+10)=205.$$