Prvo rješenje.
S obzirom da je kut između dva pravca 45 ∘ 45^\circ 4 5 ∘
∣ k 2 − k 1 1 + k 1 k 2 ∣ = 1 \left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\right|=1 1 + k 1 k 2 k 2 − k 1 = 1 odnosno ∣ k 2 − k 1 ∣ = ∣ 1 + k 1 k 2 ∣ |k_2-k_1|=|1+k_1k_2| ∣ k 2 − k 1 ∣ = ∣1 + k 1 k 2 ∣
Iz uvjeta dodira p = 2 k l p=2kl p = 2 k l 4 k 1 = − 6 k 2 4k_1=-6k_2 4 k 1 = − 6 k 2 k 1 = − 3 2 k 2 k_1=-\dfrac32k_2 k 1 = − 2 3 k 2
Slijedi
∣ k 2 + 3 2 k 2 ∣ = ∣ 1 − 3 2 k 2 ⋅ k 2 ∣ \left|k_2+\frac32k_2\right|=\left|1-\frac32k_2\cdot k_2\right| k 2 + 2 3 k 2 = 1 − 2 3 k 2 ⋅ k 2 t.j.
∣ 5 2 k 2 ∣ = ∣ 1 − 3 2 k 2 2 ∣ . \left|\frac52k_2\right|=\left|1-\frac32k_2^2\right|. 2 5 k 2 = 1 − 2 3 k 2 2 . Imamo dva slučaja
5 2 k 2 = 1 − 3 2 k 2 2 i − 5 2 k 2 = 1 − 3 2 k 2 2 . \frac52k_2=1-\frac32k_2^2 \qquad\text{i}\qquad -\frac52k_2=1-\frac32k_2^2. 2 5 k 2 = 1 − 2 3 k 2 2 i − 2 5 k 2 = 1 − 2 3 k 2 2 . Stoga postoje 4 rješenja.
k 1 = − 1 2 k 1 = 3 k 1 = 1 2 k 1 = − 3 k 2 = 1 3 k 2 = − 2 k 2 = − 1 3 k 2 = 2 \begin{array}{c|c|c|c} k_1=-\frac12 & k_1=3 & k_1=\frac12 & k_1=-3\\ k_2=\frac13 & k_2=-2 & k_2=-\frac13 & k_2=2 \end{array} k 1 = − 2 1 k 2 = 3 1 k 1 = 3 k 2 = − 2 k 1 = 2 1 k 2 = − 3 1 k 1 = − 3 k 2 = 2 Odgovarajući parametri su
p = − 2 , p = 12 , p = 2 , p = − 12. p=-2,\qquad p=12,\qquad p=2,\qquad p=-12. p = − 2 , p = 12 , p = 2 , p = − 12. Zbog uvjeta p > 0 p>0 p > 0 y 2 = 4 x y^2=4x y 2 = 4 x y 2 = 24 x y^2=24x y 2 = 24 x
Drugo rješenje.
Iz uvjeta dodira je p = 2 k 1 ⋅ 2 = 4 k 1 p=2k_1\cdot2=4k_1 p = 2 k 1 ⋅ 2 = 4 k 1 k 1 = p 4 k_1=\dfrac p4 k 1 = 4 p
i analogno p = 2 k 2 ⋅ ( − 3 ) = − 6 k 2 p=2k_2\cdot(-3)=-6k_2 p = 2 k 2 ⋅ ( − 3 ) = − 6 k 2 k 2 = − p 6 k_2=-\dfrac p6 k 2 = − 6 p
Sada je
∣ k 2 − k 1 1 + k 2 k 1 ∣ = 1 \left|\frac{k_2-k_1}{1+k_2k_1}\right|=1 1 + k 2 k 1 k 2 − k 1 = 1 odnosno ∣ k 2 − k 1 ∣ = ∣ 1 + k 2 k 1 ∣ |k_2-k_1|=|1+k_2k_1| ∣ k 2 − k 1 ∣ = ∣1 + k 2 k 1 ∣
pa redom slijedi
p 4 + p 6 = ∣ 1 − p 2 24 ∣ \frac p4+\frac p6=\left|1-\frac{p^2}{24}\right| 4 p + 6 p = 1 − 24 p 2 5 p 12 = ∣ 24 − p 2 ∣ 24 . \frac{5p}{12}=\frac{|24-p^2|}{24}. 12 5 p = 24 ∣24 − p 2 ∣ . Pomnožimo gornju jednakost s 24 i razdvojimo na dva slučaja.
Prvi slučaj je 10 p = 24 − p 2 10p=24-p^2 10 p = 24 − p 2
Pozitivno rješenje jednadžbe p 2 + 10 p − 24 = 0 p^2+10p-24=0 p 2 + 10 p − 24 = 0 p = 2 p=2 p = 2
pa tražena parabola ima jednadžbu y 2 = 4 x y^2=4x y 2 = 4 x
Drugi slučaj je − 10 p = 24 − p 2 -10p=24-p^2 − 10 p = 24 − p 2
Pozitivno rješenje jednadžbe p 2 − 10 p − 24 = 0 p^2-10p-24=0 p 2 − 10 p − 24 = 0 p = 12 p=12 p = 12
pa tražena parabola ima jednadžbu y 2 = 24 x y^2=24x y 2 = 24 x
