7. Zadatak

Označimo $3^{x^2-x-1}+2=y$.

Dana nejednadžba redom je ekvivalentna s

$$\log_{\sqrt5}y+\log_5y+\log_{25}y+\log_{625}y+\ldots+\log_{5^{2^k}}y+\ldots\leq4$$ $$2\log_5y+\log_5y+\frac12\log_5y+\frac14\log_5y+\ldots+\frac1{2^k}\log_5y+\ldots\leq4,$$ $$\left(2+1+\frac12+\frac14+\ldots+\frac1{2^k}+\ldots\right)\log_5y\leq4.$$

Izraz u zagradi je geometrijski red s prvim članom 2 i količnikom $\dfrac12$

pa je njegov zbroj jednak

$$2+1+\frac12+\frac14+\ldots+\frac1{2^k}+\ldots=\frac2{1-\frac12}=4.$$

Slijedi $4\log_5y\leq4$, odnosno

$$\log_5\left(3^{x^2-x-1}+2\right)\leq1$$

pa dalje imamo

$$0<3^{x^2-x-1}+2\leq5$$ $$3^{x^2-x-1}\leq3$$ $$x^2-x-1\leq1$$ $$(x-2)(x+1)\leq0.$$

Konačno rješenje je $x\in[-1,2]$.