6. Zadatak

Neka je $z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$, $r>0$, trigonometrijski oblik kompleksnog broja $z$.

Iz $|z|\leq\left|\dfrac1z\right|$ slijedi $|z|^2\leq1$ pa je $0<r\leq1$.

Vrijedi

$$\begin{aligned} \arg\left(\frac{z^{2020}}{1+i}\right) &=\arg\frac{r^{2020}(\cos2020\varphi+i\sin2020\varphi)}{\sqrt2\left(\cos\frac\pi4+i\sin\frac\pi4\right)}\\ &=\arg\left[\frac{r^{2020}}{\sqrt2}\left(\cos\left(2020\varphi-\frac\pi4\right)+i\sin\left(2020\varphi-\frac\pi4\right)\right)\right]\\ &=2020\varphi-\frac\pi4. \end{aligned}$$

Zato iz dane nejednakosti slijedi

$$\frac{28277\pi}{12}\leq2020\varphi-\frac\pi4\leq\frac{40397\pi}{12},$$

odnosno

$$\frac{7\pi}{6}\leq\varphi\leq\frac{5\pi}{3}.$$

Zadani skup točaka je kružni isječak polumjera 1 i središnjeg kuta $\dfrac{5\pi}{3}-\dfrac{7\pi}{6}=\dfrac\pi2$.

Površina je $P=\dfrac14r^2\pi=\dfrac\pi4$.