3. Zadatak

Prvo rješenje.

Nakon množenja zadane jednakosti sa $100$ dobivamo jednakost

$$\overline{ab}^{\,2}+\overline{cd}^{\,2}=10(\overline{ab}+\overline{cd}).$$

Označimo $x=\overline{ab}$, $y=\overline{cd}$. Tada je

$$x^2+y^2=10(x+y).$$

Zapišimo posljednju jednadžbu u pogodnom obliku:

$$x^2-10x+y^2-10y=0$$ $$x^2-10x+25+y^2-10y+25=50.$$

Tada je $(x-5)^2+(y-5)^2=50$.

Budući da su $x,y$ prirodni brojevi, vrijedi da je

$$(x-5)^2=25\ \text{i}\ (y-5)^2=25,$$ $$(x-5)^2=1\ \text{i}\ (y-5)^2=49$$

ili $(x-5)^2=49$ i $(y-5)^2=1$ pa imamo sljedeće mogućnosti

$$x-5=\pm5\ \text{i}\ y-5=\pm5\ \text{ili}\ x-5=\pm7\ \text{i}\ y-5=\pm1$$

ili obrnuto, što nam daje isto rješenje zbog simetričnosti jednadžbi.

U prvom ćemo slučaju dobiti $(x,y)\in\{(10,10),(0,0),(10,0),(0,10)\}$ što nije rješenje zbog uvjeta u zadatku.

U drugom slučaju riješimo redom sustave:

$$\begin{cases}x-5=7\\y-5=1\end{cases}\Rightarrow(x,y)=(12,6),$$ $$\begin{cases}x-5=-7\\y-5=1\end{cases}\Rightarrow(x,y)=(-2,6),$$ $$\begin{cases}x-5=7\\y-5=-1\end{cases}\Rightarrow(x,y)=(12,4),$$ $$\begin{cases}x-5=-7\\y-5=-1\end{cases}\Rightarrow(x,y)=(-2,4).$$

Jedina moguća rješenja su uređeni parovi $(12,6)$ i $(12,4)$, pa su traženi decimalni brojevi

$$1.2\ \text{i}\ 0.6\quad\text{ili}\quad1.2\ \text{i}\ 0.4.$$

Drugo rješenje.

Nakon množenja zadane jednakosti sa $100$ dobivamo jednakost

$$\overline{ab}^{\,2}+\overline{cd}^{\,2}=10(\overline{ab}+\overline{cd}).$$

Tada je

$$(10a+b)^2+(10c+d)^2=10(10a+b+10c+d),$$

odnosno

$$100a^2+20ab+100c^2+20cd+(b^2+d^2)=100a+100c+10(b+d).\qquad(*)$$

Uočimo da su svi pribrojnici osim $b^2+d^2$ djeljivi s $10$, pa i zbroj $b^2+d^2$ mora biti djeljiv s $10$.

Imamo sljedeće mogućnosti:

$$(b,d)\ \text{ili}\ (d,b)\in\{(1,3),(2,4),(2,6),(5,5),(4,8),(3,9),(6,8),(7,9)\},$$

odnosno

$$b^2+d^2\in\{10,20,40,50,80,90,100,130\}.$$

Ako u izraz $(*)$ uvrstimo da je $b^2+d^2=10k$, $k\in\{1,2,4,5,8,9,10,13\}$ i podijelimo s $10$ dana jednakost prelazi u

$$10a^2+2ab+10c^2+2cd+k=10a+10c+(b+d),\quad k\in\{1,2,4,5,8,9,10,13\}.\qquad(**)$$

Budući da je $b+d$ uvijek paran broj, slijedi da je $k\in\{2,4,8,10\}$, odnosno

$$(b,d)\ \text{ili}\ (d,b)\in\{(2,4),(2,6),(4,8),(6,8)\}$$

i $b+d\in\{6,8,12,14\}$.

Iz jednakosti $(**)$ slijedi

$$10(a^2+c^2-a-c)=(b+d)-k-2(ab+cd).$$

Budući da je razlika $(b+d)-k$ jednaka $4$ slijedi

$$5(a^2+c^2-a-c)=2-(ab+cd).$$

Uočimo da je lijeva strana uvijek pozitivna ili jednaka $0$ te da desna strana mora biti djeljiva s $5$. Zaključujemo da je $ab+cd=2$.

Kako su $b$ i $d$ različiti od $0$, jedina je mogućnost $(a,c)=(1,0)$, $(b,d)\in\{(2,4),(2,6)\}$. Zbog simetričnosti isto vrijedi za $(c,a)$, odnosno $(d,b)$.

Traženi su brojevi tada jednaki $1.2$ i $0.6$ ili $1.2$ i $0.4$.