1. Zadatak

Zapišimo danu jednadžbu u pogodnijem obliku:

$$\frac17(x^9+1)-\frac{x^3}{3}(x^3+1)=0$$ $$3(x^9+1)-7x^3(x^3+1)=0$$ $$3(x^3+1)(x^6-x^3+1)-7x^3(x^3+1)=0$$ $$(x^3+1)\bigl(3(x^6-x^3+1)-7x^3\bigr)=0$$ $$(x^3+1)(3x^6-10x^3+3)=0.$$

Slijedi da je $x^3+1=0$ ili $3x^6-10x^3+3=0$.

U prvom je slučaju $x_1=\sqrt[3]{-1}=-1$.

U drugom slučaju uvođenjem supstitucije $x^3=t$ dobivamo kvadratnu jednadžbu $3t^2-10t+3=0$ čija su rješenja jednaka $t_1=3$, $t_2=\frac13$.

Slijedi da je $x_2=\sqrt[3]{3}$, $x_3=\sqrt[3]{\frac13}$.

Dakle, sva rješenja zadane jednadžbe su $-1$, $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt[3]{\frac13}$.