5. Zadatak

Prvo rješenje.

Načine povezivanja odabranih točaka u trokut možemo podijeliti na pet slučajeva.

Prvi slučaj.

Jedan vrh trokuta nalazi se na stranici $AB$, a preostala dva vrha svaki na jednoj od stranica $BC$, $CD$ i $AD$.

Vrh trokuta na stranici $AB$ možemo odabrati na $n$ načina, dvije od preostale tri stranice na kojima se nalazi po jedan vrh trokuta možemo odabrati na $3$ načina, dok točku na svakoj od tih stranica možemo odabrati na $5$ načina.

Broj tako dobivenih trokuta je $n\cdot3\cdot5^2=75n$.

Drugi slučaj.

Jedan vrh trokuta je na stranici $AB$, a preostala dva vrha na jednoj od preostalih triju stranica pravokutnika.

Vrh trokuta na stranici $AB$ možemo odabrati na $n$ načina, stranicu na kojoj se nalaze dva vrha možemo odabrati na $3$ načina, a dvije točke na toj stranici možemo odabrati na $\frac{5\cdot4}{2}$ načina.

Broj tako dobivenih trokuta je $n\cdot3\cdot\frac{5\cdot4}{2}=30n$.

Treći slučaj.

Na stranici $AB$ nalaze se dva vrha trokuta, dok je treći vrh na jednoj od preostale tri stranice pravokutnika.

Dva vrha trokuta koji se nalaze na stranici $AB$ možemo odabrati na $\frac{n(n-1)}{2}$ načina, stranicu na kojoj se nalazi treći vrh možemo odabrati na $3$ načina, dok točku na odabranoj stranici možemo odabrati na $5$ načina.

Broj tako dobivenih trokuta je $\frac{n(n-1)}{2}\cdot3\cdot5=\frac{15}{2}n\cdot(n-1)$.

Četvrti slučaj.

Na svakoj od stranica $BC$, $CD$ i $AD$ nalazi se po jedan vrh.

Na svakoj od tih stranica vrh možemo odabrati na $5$ načina.

Broj tako dobivenih trokuta je $5^3=125$.

Peti slučaj.

Na jednoj od stranica $BC$, $CD$ i $AD$ nalaze se dva vrha trokuta, a na jednoj od njih jedan vrh.

Stranicu na kojoj se nalaze dva vrha možemo odabrati na $3$ načina, a vrhove na toj stranici možemo odabrati na $\frac{5\cdot4}{2}$ načina.

Preostalu stranicu na kojoj se nalazi treći vrh možemo odabrati na $2$ načina, a vrh na toj stranici na $5$ načina.

Broj tako dobivenih trokuta je $3\cdot\frac{5\cdot4}{2}\cdot2\cdot5=300$.

Zbrojimo li broj trokuta po navedenim slučajevima slijedi

$$75n+30n+\frac{15}{2}\cdot n\cdot(n-1)+125+300=2150,$$

dakle sređivanjem dobivamo kvadratnu jednadžbu

$$n^2+13n-230=0$$

čija su rješenja $10$ i $-23$.

Kako je $n$ broj točaka na stranici $AB$ zaključujemo $n=10$.

Drugo rješenje.

Ukupno je označeno $n+15$ točaka. Od njih biramo tri koje će biti vrhovi trokuta.

Bilo koje tri točke možemo odabrati na

$$(n+15)(n+15-1)(n+15-2)$$

načina, ali taj broj moramo podijeliti s brojem njihovih međusobnih rasporeda (bez obzira na poredak).

Međusobnih rasporeda tri točke ima $3\cdot2\cdot1=6$.

Dakle, tri vrha trokuta od $n+15$ točaka možemo odabrati na

$$\frac{(n+15)(n+14)(n+13)}{6}$$

načina.

Od toga broja moramo oduzeti odabire triju točaka koje se nalaze na istoj stranici pravokutnika.

Tako na stranici $AB$ tri točke možemo odabrati na

$$\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$$

načina.

Na svakoj od stranica $BC$, $CD$ i $AD$ tri točke možemo odabrati na

$$\frac{5\cdot4\cdot3}{6}=10$$

načina.

Tada je ukupan broj odabira tri vrha trokuta jednak:

$$\frac{(n+15)(n+14)(n+13)}{6}-\frac{n(n-1)(n-2)}{6}-3\cdot10.$$

Stoga je traženi broj rješenje jednadžbe:

$$\frac{(n+15)(n+14)(n+13)}{6}-\frac{n(n-1)(n-2)}{6}-30=2150.$$

Nakon množenja jednadžbe sa $6$ i sređivanja imamo redom:

$$(n^2+29n+210)(n+13)-n\cdot(n^2-3n+2)-180=12900$$ $$n^3+42n^2+587n+2730-n^3+3n^2-2n-180=12900$$ $$45n^2+585n-10350=0$$ $$n^2+13n-230=0.$$

Traženi broj $n$ je pozitivno rješenje ove jednadžbe, broj $n=10$.