4. Zadatak

Prvo rješenje.

Duljine lukova u omjeru su $l_1:l_2:l_3=5:3:4$. Zato je

$$l_1=5k,\qquad l_2=3k,\qquad l_3=4k.$$

Budući da je zbroj duljina lukova jednak opsegu kružnice, vrijedi $l_1+l_2+l_3=2\pi R$, pa je $k=\frac{\pi R}6$. Dakle,

$$l_1=\frac{5\pi R}{6},\qquad l_2=\frac{\pi R}2,\qquad l_3=\frac{2\pi R}3.$$

Ako je $S$ središte opisane kružnice, tada su

$$\angle ASB=150^\circ,\qquad \angle BSC=90^\circ,\qquad \angle ASC=120^\circ.$$

Prema Talesovu poučku obodni je kut dvostruko manji od središnjeg kuta nad istom tetivom. Zato je

$$\gamma=\frac12\cdot150^\circ=75^\circ, \qquad \alpha=\frac12\cdot90^\circ=45^\circ, \qquad \beta=\frac12\cdot120^\circ=60^\circ.$$

Duljine stranica računamo koristeći poučak o sinusima:

$$a=2R\sin45^\circ=R\sqrt2, \qquad b=2R\sin60^\circ=R\sqrt3.$$

Nadalje,

$$\sin75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)=\frac{\sqrt2}{4}(1+\sqrt3).$$

Površina trokuta je

$$P=\frac12ab\sin75^\circ=\frac{R^2\sqrt3}{4}(1+\sqrt3).$$

Ako je $P=3+\sqrt3$, slijedi $R^2=4$. Površina opisanog kruga jest

$$\boxed{4\pi}.$$

Drugo rješenje.

Smjestimo trokut u koordinatni sustav tako da su koordinate vrhova trokuta

$$A\left(-\frac{R\sqrt3}{2},-\frac R2\right), \qquad B(R,0), \qquad C(0,R).$$

Koristeći analitičku formulu za površinu trokuta izračunat ćemo traženi polumjer kruga, a zatim i njegovu površinu:

$$P=\frac12\left|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\right|.$$