2. Zadatak
Na planetu „Sve je moguće“ djeca igraju igru u kojoj svatko od njih treba u određenom vremenu izabrati brojeve iz skupa neparnih prirodnih brojeva manjih od 1000. Pri tome zbroj niti jednog para različitih brojeva koje je neko dijete izabralo nije 1002. Pobjednik je onaj tko izabere najviše takvih brojeva. Koliko najviše brojeva može izabrati pobjednik? Na kraju igre ustanovili su da je nekoliko djece izabralo maksimalan broj takvih brojeva, a pri tome nikoje dvoje djece nije izabralo sve iste brojeve. Odredite maksimalan broj djece za koji se to moglo dogoditi.
Rješenje
Postoji 500 neparnih prirodnih brojeva manjih od 1000. U parove sa zbrojem 1002 možemo ih udružiti kao
To je 249 parova. Brojevi 1 i 501 ostaju neupareni. Iz svakog para možemo izabrati najviše jedan broj, pa je najveći mogući broj izabranih brojeva
Taj se maksimum postiže izborom jednoga broja iz svakoga para i brojeva 1 i 501.
Oba broja koja su u istom paru ne mogu biti među izabranima. Brojevi 1 i 501 nemaju para, pa mogu biti izabrani.
Za svaki od 249 parova postoje dvije mogućnosti izbora, a 1 i 501 moraju biti izabrani. Zato je broj različitih maksimalnih skupova
To je ujedno najveći broj djece za koji se to moglo dogoditi.