5. Zadatak

a) Tražena nejednakost je redom ekvivalentna sa sljedećim nejednakostima: $$\begin{aligned} 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca&\geq0,\\ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2&\geq0, \end{aligned}$$ a ova posljednja ispunjena je za sve realne brojeve $a$, $b$, $c$. Jednakost vrijedi ako i samo ako je $a=b=c$.

b) Dokažimo da je razlika lijeve i desne strane nejednadžbe nenegativna. $$\begin{aligned} &\frac{ab+c^2}{a+b}-c+\frac{bc+a^2}{b+c}-a+\frac{ca+b^2}{c+a}-b\\ &=\frac{c^2+ab-ac-bc}{a+b}+\frac{a^2+bc-ab-ac}{b+c}+\frac{b^2+ac-ab-bc}{c+a}\\ &=\frac{(c-a)(c-b)}{a+b}+\frac{(a-b)(a-c)}{b+c}+\frac{(b-a)(b-c)}{c+a}\\ &=\frac{(c^2-a^2)(c^2-b^2)+(a^2-b^2)(a^2-c^2)+(b^2-a^2)(b^2-c^2)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\\ &=\frac{a^4+b^4+c^4-b^2c^2-c^2a^2-a^2b^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq0\qquad\text{(prema a)).} \end{aligned}$$ Jednakost vrijedi ako i samo ako je $a=b=c$.