3. Zadatak

a) Apscisa tjemena iznosi $$x=\frac{2k}{2(k-2)}=\frac{k}{k-2},$$ a ordinata $$y=\frac{4(k^2-4)-4k^2}{4(k-2)}=-\frac4{k-2}.$$ Kako iz $x=\frac{k}{k-2}$ slijedi $k=\frac{2x}{x-1}$, to je $$y=-\frac4{\frac{2x}{x-1}-2}=-2x+2.$$ Dakle, geometrijsko mjesto tjemena svih ovih parabola je pravac $y=-2x+2$.

b) Danu parabolu možemo zapisati ovako: $$k(x^2-2x+1)-y+2-2x^2=0.$$ Točka čije koordinate zadovoljavaju sustav jednadžbi $$\begin{cases}x^2-2x+1=0\\-2x^2-y+2=0\end{cases}$$ leži na svim parabolama.

Iz prve jednadžbe je $x=1$, pa iz druge dobivamo $y=0$.