8. Zadatak

Prvo rješenje. Iz uvjeta u zadatku slijedi

$$n=7x\quad\text{i}\quad n=9y+5,\qquad x,y\in\mathbb{N}.$$

Rješavamo Diofantsku jednadžbu $7x=9y+5$, odnosno

$$7x-9y=5.$$

Jedno njezino rješenje je $x_0=2$ i $y_0=1$.

Tada je opće rješenje $x=2+9t$, $y=1+7t$, $t\in\mathbb{N}$.

Kako je $100<n<1000$, a $n=7x=14+63t$, vrijedi

$$100<14+63t<1000$$ $$86<63t<986$$ $$1.3<t<15.6$$ $$t\in\{2,3,4,\ldots,15\}$$

pa je $n=14+63t$, $t\in\{2,3,4,\ldots,15\}$, ili ispisano

$$n\in\{140,203,266,329,392,455,518,581,644,707,770,833,896,959\}.$$

Drugo rješenje. Učenik može pronaći prvi broj veći od 100 sa danim svojstvom, ispisujući redom višekratnike broja 7 i brojeve koje pri dijeljenju s 9 daju ostatak 5:

Višekratnici broja 7:

$$\ldots,105,112,119,126,133,140,147,154,161,168,175,182,189,196,203,\ldots$$

Pri dijeljenju s 9 daju ostatak 5:

$$\ldots,104,113,122,131,140,149,158,167,176,185,194,203,\ldots$$

Kako je razlika prvog niza brojeva 7, a drugog 9, razlika niza zajedničkih brojeva (koji zadovoljavaju oba svojstva) je njihov najmanji zajednički višekratnik, odnosno 63.

Tada su rješenja zadatka brojevi:

$$140,203,266,329,392,455,518,581,644,707,770,833,896,959.$$