7. Zadatak

Skica.

Neka duljina stranice šesterokuta $ABCDEF$ iznosi $a$. Promotrimo, u pravilnom šesterokutu $ABCDEF$, karakterističan trokut $SBC$.

Kako je to jednakostraničan trokut, duljina

$$|IN|=\frac13|BN|=\frac{a\sqrt3}{6},$$ $$|SI|=\frac23\cdot\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{3},$$

a mjera kuta $\angle ISN$ iznosi $30^\circ$.

Analogno je iz karakterističnog trokuta $SCD$, $|NJ|=\frac{a\sqrt3}{6}$, $|SJ|=\frac{a\sqrt3}{3}$, a mjera kuta $\angle JSN=30^\circ$. Zaključujemo da je $\triangle SIJ$ jednakostraničan sa stranicom duljine $\frac{a\sqrt3}{3}$.

Isto vrijedi i za trokute $SJK$, $SKL$, $SLG$, $SGH$, $SHI$. Dakle, svi unutrašnji kutovi i stranice šesterokuta su sukladni pa je šesterokut $GHIJKL$ pravilan sa stranicom duljine

$$b=\frac{a\sqrt3}{3}.$$

Odredimo omjer površina.

$$P_1=6\frac{a^2\sqrt3}{4},\qquad P_2=6\frac{b^2\sqrt3}{4}.$$

Omjer površina je

$$\frac{P_1}{P_2}=\frac{6\frac{a^2\sqrt3}{4}}{6\frac{b^2\sqrt3}{4}}=\frac{a^2}{b^2}=\frac{a^2}{\frac{a^2}{3}}=3.$$

Površina šesterokuta $GHIJKL$ je tri puta manja od površine šesterokuta $ABCDEF$.