4. Zadatak

$$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\frac23.$$

Iz $\sin\alpha=\dfrac vd$ slijedi

$$d=\frac{v}{\sin\alpha}=\frac32v.$$

Tada iz danog opsega dobivamo

$$o=a+c+v+d\quad\Longrightarrow\quad a+c=o-(v+d)=20-\frac52v.$$

Površina je

$$P=\frac{a+c}{2}\cdot v=-\frac54v^2+10v.$$

Kako je površina trapeza kvadratna funkcija visine, maksimum postiže u tjemenu $x_0=-\dfrac{b}{2a}$.

$$v=\frac{-10}{-\frac52}=4.$$

Trapez će imati maksimalnu površinu za visinu od $4\ \text{cm}$. Maksimalna površina je $20\ \text{cm}^2$.