1. Zadatak

Prvo rješenje.

Zbroj svaka četiri uzastopna pribrojnika s lijeve strane jednak je $2-2i$. Zbrajajući prvih 96 pribrojnika dobit ćemo $24\cdot(2-2i)=48-48i$. Dakle, da bi početna jednakost vrijedila na lijevoj strani mora biti još barem jedna potencija broja $i$. No bez obzira koliko ih ima, možemo pisati

$$24\cdot(2-2i)+a+bi=48+49i,$$

odnosno

$$48+a+(-48+b)i=48+49i.$$

Odatle je

$$48+a=48\Longrightarrow a=0, \qquad -48+b=49\Longrightarrow b=97.$$

Zaključujemo da je na lijevoj strani 97 pribrojnika. 97. pribrojnik je $97i^{97}=97i$, pa je traženi $n=97$.

Drugo rješenje.

Računamo li potencije broja $i$, s lijeve strane dane jednakosti dobivamo

$$(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+(9i-10-11i+12)+\cdots+ni^n=48+49i,$$

odnosno

$$(2-2i)+(2-2i)+\cdots+ni^n=48+49i.$$

Kako je zbroj svaka četiri uzastopna pribrojnika jednak $2-2i$, zbroj na lijevoj strani ovisi o tome koji ostatak pri dijeljenju s 4 daje broj $n$. Dakle, imamo 4 mogućnosti: $n=4k$, $n=4k+1$, $n=4k+2$, $n=4k+3$.

Ako je $n=4k$, tada je dana jednakost oblika $k(2-2i)=48+49i$, a takav $k$ ne postoji.

Ako je $n=4k+1$, tada je

$$k(2-2i)+(4k+1)i^{4k+1}=48+49i,$$

pa

$$k(2-2i)+(4k+1)i=48+49i.$$

Odatle je $2k=48$ i $-2k+4k+1=49$, što daje $k=24$ i $n=97$.

Ako je $n=4k+2$, tada je

$$k(2-2i)+(4k+1)i+(4k+2)i^2=48+49i,$$

odnosno

$$2k-4k-2=48,\qquad -2k+4k+1=49,$$

a takav $k$, koji zadovoljava obje jednakosti, ne postoji.

Ako je $n=4k+3$, tada je

$$k(2-2i)+(4k+1)i+(4k+2)i^2+(4k+3)i^3=48+49i,$$

odnosno

$$2k-4k-2=48,\qquad -2k+4k+1-4k-3=49,$$

a takav $k$, koji zadovoljava obje jednakosti, ne postoji.